Come calcolare la derivata di una funzione composta

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Difficoltà: media
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Introduzione

Se avete la necessità di conoscere delle regole specifiche per svolgere in maniera non troppo complessa dei problemi matematici, come ad esempio per calcolare la derivata di una funzione composta, allora è il caso di documentarvi in maniera approfondita. A tale proposito, ecco una guida su come procedere per massimizzare il risultato.

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Scomporre le funzioni composte in semplici

La prima cosa da sapere è che le funzioni composte possono naturalmente essere scomposte in funzioni semplici. Prendiamo in esame, ad esempio, la funzione y = (3x-1) ², questa è composta dal polinomio 3x-1 e l'elevamento a potenza ². Questa funzione può inoltre essere scomposta in altre due funzioni semplici: y = t2, t = 3x − 1. Generalmente la funzione y = f (g (x)) si scompone nella funzione y = f (t), t = g (x). In riferimento a ciò, nei passi successivi di questa guida vediamo quindi come procedere per risolvere il problema assegnato a scuola dal professore.

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Applicare le regole algebriche

A questo punto per calcolare la derivata della funzione composta descritta nel passo precedente, occorre applicare le ordinarie regole algebriche che tutti conosciamo fin dalle scuole medie e che abbiamo portato avanti in maniera assai più approfondita, così come è duopo, nelle scuole superiori. In sostanza, deve risultare vera l'uguaglianza degli infinitesimi che rendono dimostrabile il tutto: dy dy dt (al numeratore) ---- = ----.---- dx dt dx (al denominatore). Quindi la derivata della funzione composta y = f (x) viene data dal prodotto delle due funzioni elementari che la compongono. La funzione precedente si scompone semplicemente in: y = t² e t = 3x -1. A questo punto calcoliamo le 2 derivate delle seguenti funzioni: y' = 2. T e t' = 3. Dy/dx = 2. T.3 = 6. T = 6 (3x - 1) = 18x - 6. Adesso, possiamo vedere che si ottiene lo stesso risultato anche se si calcola il quadrato del binomio y = (3x - 1) ² = 9x² - 6x + 1, e derivando il polinomio che viene generato y' = 18x - 6.

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Calcolare la derivata della funzione composta

In questo modo si può dunque calcolare la tanto attesa derivata di una funzione composta, che come si vede non è altro che il prodotto di due funzioni lineari. Partendo infatti dalle 2 funzioni che la compongono, la strada diventa poi tutta in discesa. A margine possiamo infine asserire che si tratta di un metodo tutto sommato non particolarmente complicato e difficile, e che ci aiuta a risolvere quella che all'inizio può sembrare un'ardua e improponibile derivata. Esercitazioni frequenti sono tuttavia consigliate, allo scopo di ottenere una maggiore dimestichezza con l'argomento e soprattutto per approfondire al meglio il concetto base, che poi è la chiave di volta della risoluzione stessa del problema assegnato dal professore.

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