Come calcolare la derivata di funzioni semplici

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Difficoltà: media
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Introduzione

Calcolare la derivata prima è molto importante nello studio delle funzioni, poiché consente di conoscere gli intervalli in cui queste crescono e/o decrescono ed è possibile calcolarne i massimi e i minimi. Con questi dati essenziali, risulta poi molto semplice disegnarne l'andamento tramite un grafico utilizzando il piano cartesiano. Vediamo quindi insieme come procedere.

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Nozione

Funzioni molto semplici da derivare sono quelle polinomiali di qualsiasi grado. Una funzione polinomiale si presenta nel seguente modo: y = ax^n (esempio: y = 4x^3 + 2x) dove n è il grado e le a rappresentano i coefficienti. In una funzione polinomiale è molto importante individuarne il grado massimo, ovvero l'esponente più alto presente su un incognita (nell'esempio è 3), che rappresenta il numero massimo di intersezioni che la funzione ha con l'asse x nel piano cartesiano. Fondamentale è ricordare che la derivata di una somma è pari alla somma delle derivate, per cui potete derivare ogni termine singolarmente e poi sommarlo agli altri.

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Calcolo

Per indicare una funzione si usa la dicitura f (x), per indicare invece una derivata si applica alla f un apice, f'(x), che sta appunto ad indicare che la funzione è una derivata prima di un'altra. Per calcolare la derivata di una funzione polinomiale semplice, prendete in considerazione un termine alla volta; di questo termine prendete il grado (l'esponente sull'incognita) e moltiplicatelo per il coefficiente che compare davanti alla x; poi abbassate quello stesso grado di 1 e ponetelo come esponente della x. Ad esempio se avete f (x) = 2x^5 + x^4 + 3x^2 + x + 5, la derivata sarà f'(x) = 2*5*x^4 + 1*4*x^3 + 3*2*x + 1 = 10*x^4 + 6*x + 1. La derivata di ogni costante è nulla, sia che essa sia positiva o negativa. Quindi, nell'esempio, la derivata di 5 è 0!

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Esempi

Altre funzioni semplici da derivare sono quella esponenziale e quella logaritmica; non bisogna assolutamente applicare le regole sopra descritte per derivare queste due funzioni, ma si prendono così come sono. La prima (l'esponenziale) si presenta nella forma f (x) = e^x e nel processo di derivazione resta identica a se stessa: f'(x) = e^x. La seconda (la logaritmica) è nella forma f (x) = log (x), la cui derivata sarà f'(x) = 1/x. Altre funzioni che hanno derivate molto semplici sono il seno ed il coseno; in entrambe le funzioni l'incognita x rappresenta un angolo. Anche per queste non bisogna applicare le classiche regole di derivazione dei polinomi. Il seno di presenta nella forma f (x) = sen (x) e nel processo di derivazione diventa uguale al coseno: f'(x) = cos (x). Il coseno, invece, è f (x) = cos (x) e, come prevedibile, la sua derivata è uguale al seno ma cambiato di segno: f'(x) = - sen (x).

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