Come calcolare la covarianza relativistica

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Difficoltà: media
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Introduzione

Prima di addentrarci in calcoli più o meno approfonditi è bene esporre il concetto di covarianza relativistica. In questa guida si vuole poi, introdurre un metodo su come calcolare questa grandezza. In generale maggiore è la covarianza fra due variabili più queste sono legate, cioè seguono la stessa tendenza. Dati due vettori X = (X1... Xn) e Y = (Y1.... Yn) di n valori l' uno, ad esempio, la covarianza è espressa dalla formula 1/(n) Sum (Xi - Xavg) +(Yi - Xavg). Xavg e Yavg sono le medie rispetto ai valori di X ed Y rispettivamente. Applichiamo questo esempio ad uno numerico per capirne meglio il significato e i campi in cui può essere applicato.

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Sia n = 3 il numero degli elementi dei vettori X ed Y sopra indicati. Siano X = (2 4 6) Y = (2 3 7). Calcoliamo la media del vettore X come se fosse la media di un qualsiasi insieme di valori. Quindi si prende la somma dei valori del vettore X e si dive per il numero totale degli elementi.
Xavg = (2 + 4 + 6) / 3 = 4. Stessa cosa facciamo per il vettore Y ottenendo Yavg = (2 + 3 + 7) / 3 = 4. Adesso applichiamo la formula definita nel punto precedente ai due vettori con Xavg e Yavg già calcolate. La covarianza risulta essere C = 1/(3){(2 - 4)(2 - 4) + (4 - 4)(3 - 4) + (6 - 4)(7 - 4)} = 3,3.

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La covarianza è una grandezza che può assumere valori negativi o positivi. Una covarianza C > 0 indica una perfetta correlazione fra le variabili. Quindi quando una aumenta, anche l' altra aumenta e viceversa. Se invece C < 0 indica che le grandezze sono inversamente proporzionali: al crescere di una l' altra diminuisce e viceversa.
Un caso a parte è quando si ottiene una covarianza nulla: questo significa che le variabili non sono correlate (incorrelate) e sono quindi variabili indipendenti.
La definizione di covarianza data in precedenza può essere scritta come segue C (X, Y) = E[XY] - Avg (XY), dove E indica il valore atteso e Avg la media sul prodotto delle variabili.

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Esistono molti campi in cui sfruttare il concetto di covarianza. Ad esempio se voglio sapere la relazione che c'è fra le vendite che sono state effettuate in un giorno da parte dei clienti verso un' attività commerciale e i prodotti comprati dalle grandi distribuzioni da parte dell' attività stessa posso sfruttare la covarianza. In tal caso una covarianza tanto più alta è migliore.
Vi sono numerosi testi che discutono della covarianza più o meno approfonditi. Potrete trovarli in una qualsiasi libreria che tiene libri consoni ad argomenti scientifici o anche on line potrete trovare dispense.

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