Come calcolare la convergenza di un integrale

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La matematica è una delle materie più temute dallo studente medio. Sin dalle scuole dell'obbligo è il principale spauracchio di intere classi, ed è considerata disciplina per "secchioni". Col proseguire del corso di studi, teoria ed esercizi diventano sempre più complessi e richiedono attenzione ai massimi livelli. Vediamo come calcolare la convergenza di un integrale.

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Occorrente

  • Testi di matematica.
  • Eserciziari.
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Gli integrali, sono operatori matematici che associano ad una funzione di una singola variabile un'area racchiusa da un grafico all'interno di un dato intervallo nel dominio, indicato con [a, b].
Secondo le regole del Teorema fondamentale del calcolo integrale, riusciamo a dimostrare come l'integrale da ɑ a x della funzione ƒ corrisponde a una primitiva di ƒ(x).

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Il calcolo della convergenza è strettamente legato agli integrali impropri, che si utilizzano per poter stabilire il valore di integrali correlati a intervalli o funzioni non limitate. Si utilizzano fondamentalmente tre criteri per studiare la convergenza: il criterio del confronto, il criterio del confronto asintotico e il criterio della convergenza assoluta. Cerchiamo di capire insieme questi teoremi. In tutti e tre i casi enunceremo i criteri tramite funzioni definite sull'intervallo [1, +∞).

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Criterio del confronto - useremo ƒ e g come indicativi del carattere condiviso tra gli integrali impropri relativi alle due funzioni. Siano dunque ƒ, g: [1, +∞) → R due funzioni integrabili localmente e 0 ≤ ƒ ≤ g. In tal caso, se g risulta integrabile, allora anche ƒ lo è.

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Convergenza assoluta - in questa circostanza, sia ƒ: [1, +∞) → R localmente integrabile. Se |ƒ| risulta integrabile, allora lo è anche ƒ, ottenendo dunque il risultato che potete vedere per esteso in foto. Questi criteri sono validi anche per funzioni definite su intervalli cosiddetti semiaperti generali: [a, b) o (a, b], previa opportuna modifica.

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Consideriamo una funzione f (x) di tipo I o di tipo II, il comportamento sull'intervallo [a, b] è improprio. Abbiamo visto prima che l'integrale è definito come un limite e che abbiamo due casi: il limite esiste (ed è un numero), in questo caso si dice che l'integrale improprio è convergente; il limite non esiste o è infinito, allora diciamo che l'integrale improprio è divergente. Se l'integrale improprio è suddiviso in una somma di integrali impropri, perché f (x) presenta più di un comportamento improprio su [a, b], allora l'integrale converge se e solo se ogni singolo integrale improprio è convergente. Dobbiamo considerare i casi: p <1, p = 1 e p> 1, indipendentemente dal valore del numero p, l'integrale improprio è sempre divergente.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Svolgere e risolvere frequentemente gli esercizi è fondamentale per padroneggiare la matematica.

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