Come calcolare l'integrale di un quoziente di polinomi

di G. C. tramite: O2O difficoltà: media

L'analisi matematica è spesso un ostacolo per molti studenti. La complessità della materia deriva dalle numerose nozioni, definizioni e dai teoremi che sono presenti all'interno del programma. Una buona parte dell'esame richiede però lo svolgimento di esercizi, in particolare il calcolo di diversi tipi di integrali. Esistono diverse funzioni e ci sono moltissimi procedimenti per calcolarle un integrale a seconda del tipo di funzione integranda, sfruttando varie proprietà e teoremi di integrazione. In questa guida vedremo come calcolare l'integrale di un quoziente di polinomi.

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1 Supponiamo di voler calcolare l'integrale in dx di una funzione del tipo N (x)/D (x) in cui N (x) e D (x) sono polinomi nell'incognita x di grado qualsiasi in cui i coefficienti di x nel polinomio N (x) saranno a0, a1, a2, etc. E i coefficienti di x nel polinomio D (x) saranno b0, b1, b2, etc. L'integrale di tale quoziente va calcolato in modi differenti a seconda di come siano i gradi di N e di D. Distingueremo quindi tre diversi casi: grd(N)>grd (D), grd (N)

2 CASO 1: se grd (N)>grd (D) occorre effettuare inizialmente la divisione tra i polinomi N (x) e D (x) e poi svolgere l'integrale del risultato ottenuto. Per effettuare la divisione tra polinomi possono essere seguite due strade alternative e ugualmente valide. La prima consiste nell'eseguire la classica divisione tra polinomi e ottenendo così il quoziente e il resto della divisione. Un metodo alternativo è quello di sfruttare il principio di identità dei polinomi. Tale principio consente di riscrivere i polinomi in funzione di alcuni coefficienti che chiameremo con le lettere dell'alfabeto (a, b, c, d, etc...). Il valore numerico di tali coefficienti può essere successivamente calcolato imponendo l'uguaglianza tra il polinomio del primo e il polinomio del secondo membro. Sostituendo poi tali valori nella nuova forma con cui era stato riscritto il polinomio di partenza si ottiene lo stesso risultato che si otteneva dalla normale divisione tra polinomi.

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3 CASO 2: se grd (N)>grd (D) occorre ricordare il teorema fondamentale dell'algebra e decomporre il polinomio D (x) in fattori primi non riducibili ulteriormente.  Per effettuare la decomposizione in fattori può risultare conveniente calcolare prima le radici del polinomio che possono essere reali o complesse.  Approfondimento Calcolo letterale tra polinomi (clicca qui) Per calcolare invece le costanti della scomposizione in fattori primi occorrerà effettuare il passaggio al limite oppure sfruttare nuovamente il principio di identità dei polinomi.  Una volta decomposti i polinomi in fratti semplici sarà possibile calcolare l'integrale del quoziente come somma di integrali dei fattori ottenuti.

4 CASO 3: se grd (N)=grd (D) non esiste un metodo sempre efficace ed occorrerà valutare volta per volta in base alla tipologia dei polinomi N (x) e D (x). Ingenerale è però consigliabile iniziare provando ad effettuare la normale divisione tra polinomi usando uno dei metodi spiegati in precedenza. Eventualmente occorrerà ricorrere a proprietà degli integrali o teoremi di integrazione da utilizzare a seconda del tipo di polinomi da integrare.

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