Come calcolare l'equazione del moto di un sistema meccanico

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La meccanica è lo studio delle variazioni che subiscono i corpi nello spazio. Lo scopo principale della meccanica è basato sulla ricerca degli integrali del moto. Partiremo dall'equazione di Lagrange in un sistema meccanico ad "s" gradi di libertà con 2 costanti arbitrarie, quali, le coordinate del punto e la velocità iniziale di un sistema. Da tale sistema, eliminando la variabile del tempo, è possibile ricavare in ognuno di questi sistemi, le coordinate del punto e le velocità ad essi associate che rimangono costanti. Queste due funzioni sono dette integrali del moto. Ricordiamo però che nello studio del moto, come sappiamo, non sempre si avranno delle coordinate cartesiane, infatti potrà succedere che, ad esempio, nello studio del moto di rotazione di un sistema meccanico, nel caso di un pendolo che ruota attorno al suo asse che viene considerato fisso, bisognerà definire, infatti, un angolo. Di conseguenza, il sistema avrà un solo grado di libertà. Le funzioni delle quali abbiamo parlato sono le soluzioni delle equazioni differenziali del moto, nello studio della meccanica dei corpi che (grazie a Newton,) descriveremo sempre come di secondo ordine. In questa guida vedremo come calcolare l'equazione del moto in un sistema meccanico svolgendo un esercizio di esempio.

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Occorrente

  • manuale di meccanica
  • carta e penna
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Partendo da queste conoscenze di base diremo che l'equazione generica del moto per essere risolta si base da questi elementi che devono essere noti. Vediamo insieme come applicare queste conoscenze per calcolare le equazioni del moto svolgendo un esercizio: Immaginiamo di avere un asta rigida, monodimensionale, nel piano, posizionata a 45° in un sistema di riferimento x, y, di assi cartesiani, vincolata mediante una cerniera (intesa come vincolo olonimo-liscio, dunque priva di attrito) di lunghezza L e di peso P che ruota liberamente nello spazio.

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Andiamo ad analizzare il vincolo. La cerniera posta all'origine del nostro sistema di assi cartesiani x, y, consente all'asta di compiere due rotazioni che chiameremo con le lettere greche rispettivamente ϑ e ϕ. Procediamo utilizzando l'equazione di Lagrange poiché consideriamo il peso distribuito (P/L) e la caratteristica del vincolo che è liscio per calcolare il lavoro compiuto dal carico per unità di lunghezza (P/L) dell'asta, ipotizzando un punto P1, compreso tra 0 ed L, sull'asta, in direzione z che dipende dalla rotazione ϑ. Dunque il lavoro L sarà dato dal peso P moltiplicato per L/2 per il coseno dell'angolo ϑ. È possibile calcolare il lavoro anche considerando il peso P applicato al suo baricentro G, in questo caso avremo sempre lo stesso risultato, ovvero: L=PxL/Lxcos ϑ.

Continua la lettura
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Calcoliamo l'energia cinetica tramite la sua definizione, considerando il peso per unità di lunghezza, quindi, il tempo sarà dato da: T=1/6 PxL2 ³(ϑ˙ 2 + ˙ϕ2 sin2 ϑ). Otterremo le equazioni del moto tramite l'equazione Lagrangiana L = T + U = 1/ 6 ML2 ³ ϑ˙ 2 + ˙ϕ2 sin2 ϑ ´ + p/ L 2 cos ϑ da cui si ricava il sistema di equazioni differenziali del moto, che andremo ad integrare dopo aver assegnato i valori numerici iniziali.

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