Come calcolare il valore medio di una funzione

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

La prima applicazione degli integrali a cui daremo uno sguardo è il valore medio di una funzione. Il fatto seguente ci dice come calcolare questo. Quindi come calcolare il valore medio di una funzione. Il valore medio di una funzione sull'intervallo [a, b] costituisce Favg che è uguale ad 1 fratto b-a dell'integrale che va da "a" a "b" di f (x) in dx. Per vedere una giustificazione di questa formula vediamo subito la prova di sezione riguardante la proprietà integrante del capitolo Extra. Lavoriamo un paio di esempi veloci.

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Determinare il valore medio di ciascuna funzione

Ecco il primo esempio per capire meglio come calcolare il valore medio di una funzione. Determiniamo il valore medio di ciascuna delle seguenti funzioni sul dato intervallo. (A) e (B) come in figura. Noteremo subito che non c'è davvero molto da fare in questo problema diverso. Basta usare la formula.
Hai preso la sostituzione necessaria per il terzo termine a destra? Quindi, il valore medio di questa funzione del dato intervallo è -1,620993. Invece, sulla seconda funzione c'è un appunto da far notare. Anche in questo caso, infatti, non c'è molto da fare se non usare la semplice formula. Si noti che l'integrale avrà bisogno della seguente sostituzione. Qui è il valore medio di questa funzione, è pari all'integrale dell'inverso della funzione stessa. Quindi, in questo caso il valore della funzione media è zero. Non si accontentano di ottenere lo zero qui. Accadrà nella giusta occasione. Infatti, guardate il grafico della funzione che viene a formarsi. In questo intervallo non è troppo difficile capire che questa è la risposta corretta.

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Teorema di Lagrange

A questo punto c'è anche un teorema che legato al valore medio della funzione col relativo calcolo. Parliamo proprio del teorema di Lagrange per Integrali. Il teorema recita pressappoco così: se è una funzione continua su [a, b] allora c'è un numero c. In [a, b] è presente un numero tale che, essa è infinita lungo gli estremi dell'asse verticale. Si noti che questo è molto simile al Teorema di Lagrange il quale solitamente si vede nel capitolo sulle applicazioni delle derivate. Notate, inoltre, che un modo di pensare di questo teorema è il seguente. In primo luogo riscrivere il risultato come una frazione semplifica lo svolgimento della funzione data.

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Come calcolare una funzione continua

Siamo vicini a capire come calcolare al meglio il valore medio di una funzione. In altre parole, se si tratta di una funzione continua, da qualche parte in [a, b] la funzione assumerà il suo valore medio. Diamo quindi un rapido sguardo ad un esempio che utilizza questo teorema. In questo esempio dobbiamo determinare il numero C che soddisfa il Teorema di Lagrange utilizzando gli integrali per la funzione nell'intervallo [1,4].

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