Come calcolare il rango determinante

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Il rango di una matrice è il massimo numero delle righe (o delle colonne) linearmente indipendenti, ovvero la dimensione del sottospazio generato dalle righe (o dalle colonne) della matrice stessa. Il rango è una nozione indispensabile in quanto ci rivela molte proprietà della matrice studiata e dell'applicazione lineare associata a quest'ultima. La nozione di determinante è strettamente legata a quella di rango infatti il rango di una matrice A equivale all'ordine della più grande matrice quadrata invertibile contenuta in A, dove invertibile vuol dire avente determinante diverso da zero. Vedremo prima i due metodi per calcolare il rango e infine come trovare il determinante.

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Un primo metodo per calcolare il rango di una matrice A è chiamato algoritmo di Gauss il cui obbiettivo è ottenere una matrice a scalini (ovvero dove il primo elemento che non sia zero in una riga deve occupare una o più posizioni più a destra della riga precedente). Il rango in questo caso è il numero di righe non nulle che si osservano sulla matrice dopo aver applicato l'algoritmo. L'algoritmo si sviluppa in quattro passi:

1) Scegli una riga con primo elemento non nullo e scambiala con la prima, se tutte le righe hanno primo elemento nullo vai al passo 4.

2) Per ogni altra riga con primo elemento non nullo moltiplica la prima riga per un valore tale che sommate (le due righe) diano primo elemento uguale a zero.

3) Sostituisci la somma appena ottenuta con la matrice considerata al punto 2.

4) Ripeti dal punto 1 considerando la matrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna.

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Il secondo metodo è chiamato metodo dei minori, ed è qui che entra in gioco il determinante. Partiamo con definire cosa è un minore: il minore di una matrice A è il determinante di una matrice quadrata contenuta in A. Il rango della matrice A è uguale al massimo ordine di un minore non nullo di A. Da queste definizioni si deduce che per applicare il metodo dei minori si dovrà calcolare il determinante di A se questo è nullo si dovrà calcolare tutti i minori di ordine maggiore, se sono tutti nulli si abbasserà di uno l'ordine dei minori e si ripeterà la ricerca. L'operazione termina non'appena si trova un minore non nullo: il rango cercato equivale all'ordine del minore trovato.

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Vediamo ora come calcolare il determinante con il metodo di Laplace: Il determinante di una matrice A 2x2 [formata dalla riga (a, b) sovrapposta alla riga (c, d)] è det (A)=ad-cd. Per ogni altra matrice di ordine n più grande di 2 si opererà ricorsivamente nel modo seguente: si scelga una riga i, si faccia il prodotto tra l'elemento a di posizione (i, j) e il determinante della sottomatrice ottenuta eliminando la riga i e la colonna j per ogni elemento della riga scelta, infine si sommino i prodotti ottenuti tra loro facendo attenzione di cambiare il segno nel caso i+j sia dispari (il procedimento può essere applicato simmetricamente alle colonne). Ci sono altri metodi per il calcolo del determinante ma il metodo di Laplace ha il pregio di essere sempre applicabile.

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