Come calcolare il numero di diagonali in un poligono

di Effe W. tramite: O2O difficoltà: facile

Uno dei tanti dilemmi che la geometria ci propone è quello relativo al calcolo del numero delle diagonali di un poligono. Se nel caso di un poligono regolare con un numero esiguo di lati o vertici l'operazione può sembrare abbastanza intuitiva tramite la rappresentazione grafica, le cose si complicano notevolmente quando il poligono ha un numero elevato di lati o vertici. Ci chiediamo: esiste una formula matematica che può permetterci di calcolare in modo rapido il numero di diagonali in un poligono, qualunque sia il numero di lati? La risposta è affermativa e nei prossimi passi vi illustreremo come procedere per applicare tale formula.

1 Semplici nozioni di base Per una migliore comprensione di ciò che si andrà ad esaminare, è bene ricordare che un poligono è definito come l'area di piano delimitata da una linea spezzata chiusa. È caratterizzato da un certo numero di lati che coincide con il numero di vertici. Inoltre, in ogni poligono, due lati che condividono lo stesso vertice vengono definiti adiacenti. Infine, bisogna tenere presente che per diagonale si intende quel segmento che congiunge i vertici non consecutivi. Con queste nozioni elementari bene in mente, sarà molto semplice l'applicazione della formula matematica che vi consentirà di determinare il numero di diagonali di un poligono.

2 Scrittura e applicazione della formula La formula per il calcolo delle diagonali di un poligono è la seguente: [n*(n-3)] / 2,
dove n è il numero di vertici o lati del poligono. Per poter comprendere in modo pratico e intuitivo l'utilizzo di tale formula e il ragionamento sul quale è basata, possiamo iniziare determinando il numero di diagonali di un quadrato. Il discorso sarà equivalente per i poligoni più complessi, con più lati e vertici e quindi meno intuitivi. Il numero dei vertici di un quadrato è pari a 4. Sostituendo tale valore alla lettera n nella formula matematica appena enunciata, si avrà:
[4*(4-3)] / 2 = 4*1/2 = 4/2 = 2.
Infatti, come ben noto perché di facile intuizione, il quadrato ha due diagonali.

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3 Comprensione della formula Per spiegare l'origine di tale formula, possiamo ricorrere al seguente ragionamento.  Ciascun vertice, ad eccezione di se stesso e dei due vertici consecutivi, si raccorda con tutti i vertici del poligono determinando le diagonali.  Approfondimento Come calcolare l'area di un quadrato inscritto in un cerchio (clicca qui) Da ciò scaturisce che bisogna sottrarre dal numero dei lati, o dei vertici del poligono, proprio i lati consecutivi di un qualsiasi vertice preso in analisi e il vertice stesso: da qui (n - 3).  Nel caso specifico del quadrato avremo quindi 4-3 = 1.  Tale discorso vale nel caso del singolo vertice perciò, moltiplicando tale valore per il numero di vertici totali, si otterrà il numero di tutte le possibili diagonali.

4 Perchè si divide per due? Moltiplicando n*(n-3), che nel caso del quadrato risulta essere pari a 4*(4-3) = 4, si ottiene quindi la totalità delle possibili diagonali. Cosi facendo, però, ogni diagonale verrebbe contata due volte ed è per questo motivo che è necessario dividere per 2 il valore ottenuto. Nel nostro caso, 4/2 = 2. Ecco cosi spiegata l'origine di questa semplice formula.

5 Esempio con poligono complesso Essa si rivela molto utile soprattutto quando ci si trova a dover calcolare il numero delle diagonali di un poligono con un numero elevato di vertici o lati. Supponiamo di voler determinare il numero di diagonali di un poligono con 56 vertici. Non vi resterà che procedere applicando la formula: [56*(56-3)] / 2 = 56*53/2 = 1484.
Il poligono avrà 1484 diagonali. Questa formula è estendibile a qualsiasi poligono. L'unico poligono a non avere alcuna diagonale è il triangolo, poiché questa figura geometrica non presenta coppie di lati non consecutivi. Si dirà che il numero di diagonali del triangolo è uguale a 0.

Non dimenticare mai: Per una migliore comprensione degli argomenti matematici, si consiglia sempre di ripassare le nozioni di base. Alcuni link che potrebbero esserti utili: Numero delle diagonali di un poligono

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