Come calcolare il limite di una funzione a due variabili

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

L'analisi matematica presenta sempre parecchie insidie, ed ecco che appena riusciamo a capire come funzionano i limiti di funzioni a singola variabile, compare il limite di funzione a due variabili. Ma non temete, perché il limite di una funzione a due variabili è concettualmente la stessa cosa del limite di una funzione ad una sola variabile. Tuttavia l'argomento deve essere approfondito e devono essere svolti diversi esercizi prima di riuscire a padroneggiare senza problemi un limite di funzione a due variabili. In questa guida cercheremo di fornirvi gli strumenti necessari per imparare a calcolare il limite di una funzione a due variabili. Vediamo come fare.

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Occorrente

  • Tanti esercizi
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Definizione

La prima cosa che dobbiamo sapere quando ci approcciamo allo studio di un'operazione matematica è la teoria che sta alla base, partendo dalla definizione di limite di una funzione a due variabili. Consideriamo una funzione a due variabili "f (x, y)" definita in un sottinsieme di R^2. Siano ora (x0, y0) due punti di accumulazione del sottinsieme. Si definisce limite finito "l" della funzione, il valore che la funzione assume per x->x0 e y->y0. Se ponete un po' di attenzione, riuscirete a vedere moltissime affinità con l definizione di limite di funzione a singola variabile. In effetti le due definizioni sono molto simili perché esprimono lo stesso concetto. L'una però in senso leggermente più generale dell'altra. Inoltre, come nel caso del limite di una funzione ad una sola variabile, anche per il limite di una funzione a due variabili vale la proprietà di unicità. Ovvero, se esiste il limite di una funzione di due variabili esso è unico.

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Esistenza del limite

Il problema che si pone, quindi, è verificare l'esistenza o meno del limite. Con la sola definizione di limite di funzione di due variabili non possiamo fare granché. In generale si può determinare l'esistenza di un limite attraverso una nuova funzione. Definiamo quindi la nuova funzione "h (x, y)", che deve soddisfare due condizioni:
1) |f (x, y) - l|<= h (x, y), ovvero il modulo della "f" meno il suo limite deve essere minore o al più uguale alla funzione "h";
2) il limite per x e y che tendono a x0 e a y0 della h (x, y) deve essere nullo.

Se la funzione h (x, y) rispetta queste due condizioni diremo che esiste il limite della funzione f (x, y).

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Calcolo pratico del limite

Passiamo adesso al calcolo vero e proprio del limite. Per farlo useremo la tecnica mostrata nel passo precedente. Facciamo un esempio. Studiamo il limite delle funzione f (x, y)= yx^2/(x^2+y^2). Possiamo dimostrare facilmente che x^2<= x^2+y^2. Tramite questa relazione possiamo scrivere |yx^2/(x^2+y^2)|<= |y|, in quanto risulta che x^2/(x^2+y^2)<=1.
La funzione |y| assume quindi il ruolo della funzione h (x, y). Infatti rispetta le due condizioni. Il suo limite per y->0 dà 0. Quindi abbiamo determinato il limite della f (x, y) e risulta essere proprio 0.

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Consigli

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  • Esercitatevi finché non padroneggiate la tecnica
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