Come Calcolare il Determinante di Matrici Quadrate con il Teorema Di Laplace

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Avete delle difficoltà nel calcolare Il Determinante di Matrici Quadrate? Non sapete proprio come fare? Attraverso i passaggi successivi di questa Guida capirete, in poche e semplici operazioni, come dovete affrontare questa tipologia di problemi di Algebra Lineare, anche per matrici 3x3 o 4x4. Per la risoluzione del problema è necessario utilizzare il Teorema di Laplace.

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Matrici

Per quanto riguarda le semplici matrici 2x2 occorre utilizzare la formula comune del calcolo del Determinante. La formula in questione è la seguente: d]: ab] Quindi, se per esempio avessimo la Matrice 2x2 K= |11 8| |3 7|Il suo Determinante sarebbe: Det[K] = 11x7 - 8x3 = 77-24 = 53. Basterà semplicemente sostituire il valori all'interno della formula. Nel caso di matrici 3x3 come questa, bisogna sapere che esiste una formula ricorsiva per andare a calcolare il suo Determinante, basata sul teorema di Laplace. In questo caso la formula è la seguente: det (A) = aei bfg cdh %u2212 [ceg afh bdi].

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Teorema di Laplace

Nel caso di una matrice 4x4, invece, bisogna applicare nuovamente il teorema di Laplace, semplicemente riducendo la matrice 4x4 a una somma di matrici 3x3. Il determinante della matrice 4x4 risulterà dalla "somma dei determinanti delle sottomatrici 3x3" ottenute dalla formula del Teorema di Laplace:

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Matrice 4x4

Supponiamo dunque di avere questa matrice 4x4. In questo caso bisognerà andare a ridurre la matrice a una somma di matrici 3x3. I fattori moltiplicativi 1, 2 e -5 che precedono le sottomatrici rappresentano i numeri che si ottengono eliminando una riga e una colonna della matrice 4x4. In questo caso è necessario procedere con l'eliminare, innanzitutto, la prima colonna e la prima riga, trovando così il numero 1, nell'intersezione "riga-colonna" (il quale è positivo poiché la somma dei numeri riga-colonna è 1 1=2=pari, quindi viene moltiplicato per 1).

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Soluzione

Successivamente, bisognerà procedere con l'eliminare la prima riga e la seconda colonna, trovando 2 come fattore moltiplicativo (il quale viene moltiplicato per 1 poiché essendo, prima riga, terza colonna, 1 3=4=pari). Alla fine sarà necessario togliere la prima riga e la quarta colonna, trovando 5 come fattore moltiplicativo (il quale diventa -5 poiché la somma dei numeri riga-colonna è 1 4=5=dispari quindi il fattore moltiplicativo va moltiplicato per -1). Ora il determinate della matrice 4x4 sarà dato la somma del determinante della prima matrice moltiplicato per 1, più il determinante della seconda matrice moltiplicato per 2, più il determinante della terza matrice moltiplicato per -5.

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