Come calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

In geometria analitica, lavorando sul piano cartesiano, ci si imbatte spesso nel calcolo del coefficiente angolare delle rette che si stanno trattando. In questa guida vediamo come calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente a qualsiasi curva. Muniamoci dunque di carta e penna e procediamo.

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Occorrente

  • Fogli
  • Penna
  • Calcolatrice
  • Goniometro
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Innanzitutto cos'è il coefficiente angolare di una retta? Il coefficiente angolare è quel numero puro (privo quindi di unità di misura) che esprime l'angolazione di una retta nel piano cartesiano. Prendiamo in considerazione la generale espressione analitica di una retta: ax + by + c = 0 (dove a è il coefficiente di x, b quello di y e c il termine noto) Il coefficiente angolare, che d'ora in poi indicheremo con k, viene così calcolato: k= - a/b. Notiamo quindi che se b è 0 k tende a infinito, quindi avremo una retta parallela all'asse y. Se invece a è 0 allora anche k è 0, e la retta risulterà parallela all'asse x. Il coefficiente angolare varia quindi da 0 a infinito.

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Ora veniamo al nostro problema, calcolare il coefficiente angolare di una retta tangente ad una curva. Quello che dobbiamo fare è calcolare l'espressione analitica della retta per poi calcolare il coefficiente angolare. Sappiamo che la retta è tangente alla curva, ovvero che retta e curva hanno un solo punto in comune. Troviamo quindi l'equazione generale di una retta tangente alla curva data, impostando un sistema tra l'equazione della curva e quella di una retta generica. Applicando il metodo di sostituzione, troviamo la risultante, ovvero un'equazione di secondo grado, e imponiamo che abbia una sola soluzione, ponendo il discriminante uguale a zero. Così facendo ricaviamo a in funzione di b (b=a+r).

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Abbiamo dunque l'equazione generale di una retta tangente alla curva data. Se prima della nostra retta sapevamo solo che ax+by+c=0, ora sappiamo che ax+(a+r) y+c=0. Ora il problema fornirà di certo le coordinate del punto di tangenza o di un qualsiasi altro punto appartenente alla retta. Basterà dunque sostituire nell'equazione le coordinate del punto noto per ricavare i valori di a e di b.Una volta trovati questi valori il gioco è fatto, basta applicare la formula k=-a/b per calcolare il coefficiente angolare.

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Esiste un metodo molto semplice e veloce per verificare il risultato ottenuto. Prolunghiamo la tangente fino ad incontrare l'asse delle ascisse e misuriamo con un goniometro l'ampiezza dell'angolo che viene a formarsi. Con una calcolatrice calcoliamo poi la tangente di tale angolo. Se il problema è stato svolto correttamente, tale risultato e il coefficiente angolare coincideranno.

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Consigli

Non dimenticare mai:
  • Per orientarsi nella risoluzione di un problema di tipo analitico è sempre consigliabile realizzare un disegna affidabile della situazione e procedere a piccoli passi nel procedimento.
Alcuni link che potrebbero esserti utili:

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