Come applicare l'equazione di Bernoulli

di Roberto Mura tramite: O2O difficoltà: facile

L'equazione di Bernoulli descrive matematicamente l'effetto Bernoulli, per cui in un fluido ideale su cui non viene applicato un lavoro, per ogni incremento della velocità di deriva si ha simultaneamente una diminuzione della pressione o un cambiamento nell'energia potenziale del fluido, non necessariamente gravitazionale. L'equazione di Bernoulli è un importante risultato ottenuto da un grande scienziato nell'ambito della meccanica dei fluidi. C'è da ricordare che questa equazione non è sempre applicabile, quindi prestiamo attenzione alle ipotesi iniziali. In questa guida, quindi, vedremo come fare per riuscire ad applicare correttamente l'equazione di Bernoulli.

1 Per applicare l'equazione di Bernoulli, dovremo per prima cosa verificare il soddisfacimento delle ipotesi iniziali, ovvero: il fluido deve scorrere in regime stazionario, deve avere un comportamento incomprimibile, gli effetti dovuti alla viscosità (sforzi tangenziali) sono trascurabili. Se anche una sola delle ipotesi fatta non è verificata, allora l'equazione di Bernoulli non è più valida, o almeno, ha una forma leggermente diversa. Ultima considerazione da fare riguarda i punti del fluido in cui è applicabile, infatti la legge è valida lungo una linea di flusso, ovvero una linea che è tangente in ogni punto al campo delle velocità del fluido. Ecco un sito molto utile. https://it.openprof.com/wb/fluidodinamica_equazione_di_continuit%C3%A0_equazione_di_bernoulli?ch=572

2 In generale quando ci troviamo in presenza di un liquido come l'acqua, la condizione di comportamento incomprimibile le ipotesi iniziali sono rispettate. In pratica questo permette di poter considerare la densità del fluido costante durante il suo scorrere, ovvero lungo una linea di flusso. Nel caso di gas si può verificare il comportamento facendo riferimento al numero di Mach, cioè al rapporto tra la velocità del fluido e la velocità del suono (circa 340 m/s); se tale numero è maggiore di 0,3 allora bisognerà considerare il fluido comprimibile e l'equazione scritta non è più valida. In questo sito sono presenti alcuni dettagli importanti.
http://www.youmath.it/forum/analisi-2n/19931-equazioni-differenziali-di-bernoulli-dimostrazione-della-formula-per-lintegrale-generale.html

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3 Per regime stazionario si intende una condizione in cui le grandezze fluidodinamiche non variano nel tempo.  Questa condizione è molto spesso verificata e nei casi in cui il flusso non fosse perfettamente stazionario, l'utilizzo del trinomio di Bernoulli nella forma che vedremo al passo successivo introduce un errore trascurabile, quindi in pratica può ancora essere utilizzato.  Approfondimento Meccanica dei fluidi: le equazioni di Hugoniot (clicca qui)
Infine gli effetti della viscosità devono essere trascurabili, poiché questi introdurrebbero un termine dissipativo che quindi fa si che il trinomio non resti costante.  L'equazione di Bernoulli è la seguente:
p+p (u^2)/2+pgh=cost

L'equazione rappresenta una sorta di conservazione delle pressioni, dove p rappresenta la pressione relativa del fluido, il secondo termine invece è la pressione idrostatica, ed il terzo la pressione dinamica.  In questo sito sono presenti alcuni esempi che fanno al caso nostro.  http://ishtar.df.unibo.it/mflu/html/bernoulli.html

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