Come Applicare Il Metodo Di Eliminazione Di Gauss A Una Matrice Nxn

tramite: O2O
Difficoltà: media
18

Introduzione

Oggi vedremo come applicare il metodo di eliminazione di Gauss su una matrice nxn. Utilizzare tale algoritmo su una qualsiasi matrice permette di ricavare preziose informazioni circa il rango della stessa, la struttura delle soluzioni del sistema lineare associato o la dipendenza lineare delle righe.

28

Occorrente

  • 4 operazioni
38

Il nostro obiettivo è portare la matrice in "forma diagonale". Le operazioni che possiamo fare sono: sommare tra loro le righe, moltiplicare le righe per un numero diverso da 0, sommare tra loro multipli di righe. Per prima cosa consideriamo l'elemento in alto a sinistra della matrice, che denoteremo con M (1,1) (il primo 1 è l'indice della riga, il secondo quello della colonna).

48

Verifichiamo che l'elemento in posizione (1,1) sia diverso da 0. Nel caso in cui sia uguale a 0, bisogna scambiare la prima riga con la k-esima, a patto che M (k,1) sia diverso da 0. Se tutte le righe hanno come primo valore (cioè nella prima colonna) 0, possiamo eliminare la prima riga e la prima colonna. Fai attenzione: se sulla prima colonna ci sono solo zero, possiamo eliminarle entrambe e passare alla seconda colonna. Una volta terminato l'algoritmo di Gauss anche la prima riga sarebbe composta solo da 0.

Continua la lettura
58

Eseguiamo un'operazione standard per tutte le righe successive. Sottraiamo alla riga k-esima la prima riga moltiplicata per l'elemento M (k,1), per ottenere, una volta effettuate le sottrazioni, M (k,1) = 0. Stiamo sottraendo alla k-esima riga un elemento multiplo della prima, non stiamo moltiplicando la prima riga per M (k,1) (o, se è più facile da comprendere, è come se prima moltiplicassimo per M (k,1), eseguissimo la sottrazione e poi moltiplicassimo per (1/M (k,1) che avevamo preso in precedenza)

68

Ora la nostra matrice avrà la prima colonna che è (1 0 0 0... 0). Ripetiamo il procedimento dei passi precedenti con la seconda colonna. Consideriamo M (2,2). Se questo elemento è uguale a 0 scambiamo la seconda riga con un'altra in cui questo elemento è diverso da zero. Se in tutte fosse pari a 0 cancelliamo la seconda riga e la seconda colonna e consideriamo la matrice quadrata (N-1) x (N-1) che otteniamo. Nel caso in cui invece riuscissimo a trovare un elemento in questa posizione diverso da zero, dobbiamo dividere la seconda riga per M (2,2) e quindi sottrarre a tutte le righe dalla 3° all'n-esima la seconda riga moltiplicata per M (k,2)..

78

Nell'ultimo passaggio dell'algoritmo otterremo una matrice triangolare superiore, con tutti 1 sulla diagonale e 0 sotto la diagonale. Se abbiamo cancellato qualche riga e qualche colonna, dobbiamo ricordarlo. Solo così potremo ricavare informazioni sul rango. Infatti il rango di una matrice (cioè il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti) è uguale a N-(numero delle colonne cancellate). Termina così l'algoritmo di Gauss. Le applicazioni di questo algoritmo sono svariate. Una delle più famose è nel corso di Geometria e Combinatoria per il calcolo del rango di una matrice.

88

Consigli

Non dimenticare mai:
  • Spesso è sufficiente fermarsi alla forma triangolare superiore se non è necessario calcolare esplicitamente le soluzioni

Potrebbe interessarti anche

Segnala contenuti non appropriati

Tipo di contenuto
Devi scegliere almeno una delle opzioni
Descrivi il problema
Devi inserire una descrizione del problema
Si è verificato un errore nel sistema. Riprova più tardi.
Verifica la tua identità
Devi verificare la tua identità
chiudi
Grazie per averci aiutato a migliorare la qualità dei nostri contenuti

Guide simili

Università e Master

Teorema di Gauss-Markov: dimostrazione

La matematica è sempre stata la materia più complicata e quindi meno apprezzata sia dai bambini delle scuole elementari, sia dagli studenti delle superiori e delle facoltà universitarie. Questa difficoltà sta soprattutto nel fatto che i concetti sono...
Università e Master

Come risolvere sistemi lineari con il metodo di Gauss

Col finire della scuola, gli impegni scolastici si moltiplicano, gli ultimi mesi sono i più duri, durante i quali si cerca di superare le ultime lacune che si hanno, migliorare i voti precedenti e di conseguenza, per poter essere promossi tranquillamente...
Università e Master

Appunti su matrici e determinanti

La matematica è da sempre la materia più ostica per ri studenti di qualsiasi età partire dalle elementari fino agli studi universitarie. La matrice è un insieme di numeri racchiuso in una tabella formata da righe e colonne, allo scopo di individuare...
Superiori

Come stabilire il rango di una matrice al variare di un parametro

La matematica è una delle materie che più crea problemi agli studenti. In realtà per comprendere appieno questa materia bisogna avere una buona base di teoria. È questo il caso del calcolo del rango di una matrice. Calcolare il rango di una matrice...
Superiori

Come stabilire il rango di una matrice

Tutti gli studenti si sono trovati a far i conti con l'algebra, durante la propria carriera scolastica. Tra gli argomenti più critici che possono mettere in imbarazzo ed anche in difficoltà seria gli studenti maggiormente preparati, ci sono le matrici....
Università e Master

Come diagonalizzare una matrice

A chiunque di noi abbia compiuto degli studi superiori o universitari nel campo della matematica o delle scienze applicate alla matematica (ad esempio studi ingegneristici o relativi all'architettura) sarà senz'altro capitato di imbattersi nello studio...
Superiori

Elementi di algebra lineare

L'algebra lineare è una branca della matematica che studia principalmente gli spazi vettoriali, i vettori, le trasformazioni lineari e i sistemi lineari. Vedremo, in questa guida, quindi, gli elementi base di ognuno di questi argomenti dell'algebra lineare...
Università e Master

Come Applicare Graham-schmidt A Una Matrice Nxn

Il metodo di ortogonalizzazione di Graham-Schmidt vuole mettere a disposizione il giusto sistema per costruire un insieme di vettori ortogonali pur iniziando da una famiglia di vettori indipendenti e lineari. In poche parole, è fondamentalmente il modo...
I presenti contributi sono stati redatti dagli autori ivi menzionati a solo scopo informativo tramite l’utilizzo della piattaforma www.o2o.it e possono essere modificati dagli stessi in qualsiasi momento. Il sito web, www.o2o.it e Arnoldo Mondadori Editore S.p.A. (già Banzai Media S.r.l. fusa per incorporazione in Arnoldo Mondadori Editore S.p.A.), non garantiscono la veridicità, correttezza e completezza di tali contributi e, pertanto, non si assumono alcuna responsabilità in merito all’utilizzo delle informazioni ivi riportate. Per maggiori informazioni leggi il “Disclaimer »”.