Appunti matematica: studio della funzione a una variabile

tramite: O2O
Difficoltà: difficile
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Introduzione

Si avvicina il tempo degli esami e diventa opportuno fare un po' di ripasso dei principali argomenti di matematica. Un argomento che vediamo spesso nelle prove di esame è quello dello studio di funzione, dove, partendo da un'equazione data, lo studente si ritroverà a dovere studiare e infine disegnare il grafico della stessa funzione. Ma partiamo dunque dalla definizione: per Studio di Funzione a una variabile, in analisi matematica, si intende l'insieme di procedure il cui scopo è quello di ricostruire l'andamento di una variabile (genericamente y) al variare di un'altra (genericamente x) di cui essa è funzione. Durante lo studio di funzione si segue un procedimento base, atto a definire man mano gli elementi principali della funzione, una volta estrapolati i quali sarà possibile redigere il grafico della funzione stessa su un piano di assi cartesiani. In questa guida di appunti di matematica andremo quindi a vedere lo studio della funzione a una variabile.

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Definizione del dominio e ricerca dei punti di intersezione con gli assi

Per determinare il dominio, bisogna riconoscere il campo di esistenza della funzione cioè l'insieme dei valori che è possibile assegnare ad x, affinché y sia ben definito e non risulti nullo. A questo scopo bisogna considerare tre possibili casi. Se la funzione f (x) è fratta, bisogna far in modo che il denominatore non diventi mai uguale a zero, cioè la x potrà assumere tutti i valori tranne quelli che annullano il denominatore. Se invece f (x) è una funzione con radicale ad indice pari, dobbiamo porre il termine sotto radice maggiore o uguale a zero, perché risulta impossibile avere la radice di un numero negativo. Infine, se la funzione è logaritmica, l'argomento della funzione dovrà essere maggiore di zero. Esclusi questi casi, il campo di esistenza o dominio della funzione f (x) è tutto l'insieme dei restanti numeri reali.
Una volta Individuati i punti in cui la funzione è nulla, si dovrano calcolare i punti di intersezione della curva con l'asse delle ordinate e con l'asse delle ascisse ponendo nella funzione prima x=0 e successivamente y=0. In qesto modo avremo già trovato i primi due punti della curva, quelli in cui la curva interseca i due assi orizzontale e verticale
In particolare se x=0 è un punto di discontinuità è probabile che in quel punto vi sia un asintoto.

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Studio degli asintoti

Questo studio serve a determinare l'andamento di y, ossia della funzione f (x), al crescere di x verso infinito, e l'andamento della stessa funzione in prossimità dei punti di discontinuità.
L'asintoto è rappresentato come una retta che si avvicina indefinitamente alla funzione senza mai toccarla, ovvero è la tangente all'infinito della funzione. In particolare si ha un asintoto orizzontale quando la x tende all'infinito avvicinandosi ad una retta orizzontale, un asintoto verticale quando la x tende all'infinito avvicinandosi ad una retta verticale e un asintoto obliquo quando la x tende all'infinito avvicinandosi ad una retta obliqua.

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Studio del segno della funzione

Questo passo dello studio di funzione è molto importante perché permette di capire in quali parti del piano verà rappresentato il grafico della funzione, poiché nel piano cartesiano due dei quattro quadranti hanno segno positivo e due quadranti hanno segno negativo. A questo scopo, attraverso lo studio di funzione, si devono trovare tutti i valori per cui la funzione risulterà maggiore di zero risolvendo la disequazione f (x) > 0.

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Calcolo dei punti di massimo e minimo

Per risolvere questo passaggio è necessario calcolare la derivata prima che ci porterà ad individuare la crescenza e la decrescenza, i punti di massimo e di minimo e i punti di flesso a tangente orizzontale. Fatta la derivata prima della funzione, la si porrà maggiore di zero e si risolverà la disequazione. A questo punto potremo osservare che nell'intervallo in cui la disuguaglianza è verificata, la funzione sarà crescente, mentre dove non è verificata sarà decrescente. I punti in cui la derivata prima si annulla sono i punti di massimo e di minimo. Il punto di massimo assoluto è l'ascissa che rappresenta il valore più grande tra i valori delle ordinate quando ovviamente la funzione non tende a + ∞ in nessun punto del dominio. Viceversa Il punto di minimo assoluto è l'ascissa che rappresenta il valore più piccolo tra i valori delle ordinate.

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Studio della concavità e rappresentazione grafica

L'ultimo passaggio da dover eseguire è lo studio della concavità o convessità della curva, il quale si svolge ponendo la derivata seconda dela funzione maggiore di zero e risolvendone la disequazione. Si otterranno così gli intervalli in cui la funzione rivolge la concavità verso l'alto ed inoltre si troveranno i punti dove cambia di concavità con la determinazione dei punti di flesso.
A questo punto, una volta determinati analiticamente tutti i punti relativi alla curva, non ci rimarrà che rappresentarli nel piano cartesiano, cosa che sarà facilissima perché avremo trovato coppie ordinate di punti da cui fare passare la curva in questione.

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