Appunti: equazioni differenziali

tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Proponiamo degli appunti riguardanti le equazioni differenziali. L'equazione differenziale è la relazione tra una funzione f (x) non nota e alcune sue derivate. La funzione che soddisfa tale relazione è chiamata soluzione. Le derivate possono arrivare ad un ordine massimo che è chiamato ordine dell'equazione differenziale. Un'equazione differenziale è di ordine k se la derivata di ordine maggiore è di ordine k, si dice invece in forma normale se il coefficiente della derivata di ordine più alto non è nullo.

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Problema di Cauchy

Nella ricerca di una soluzione alle equazioni differenziali si pone il cosiddetto Problema di Cauchy: ossia il problema di determinare un'unica soluzione. È qui che entra in gioco il teorema di esistenza e unicità per il problema di Cauchy che sostiene che la soluzione esiste ed è localmente unica se la funzione rispetta le ipotesi date. Questo teorema però non trova sempre fondamento, soprattutto se si è davanti a equazioni differenziali non lineari. Infatti in questo caso, dove si possono verificare fenomeni di non unicità della soluzione, si parla di esistenza locale della stessa che può essere definita soltanto su un determinato intervallo.

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Equazioni differenziali più generali si incontrano nella teoria dell'integrazione

Generalmente tali equazioni non si risolvono bensì se ne studia l'andamento qualitativo attraverso l'utilizzo di strumenti informatici che siano in grado di effettuare approssimazioni con metodi di calcolo numerici. Equazioni differenziali più generali si incontrano nella teoria dell'integrazione: infatti ogni volta che si ricerca la primitiva di una funzione si risolve un'equazione differenziale. Ma non tutte queste equazioni sono così semplici.

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Le equazioni differenziali trovano utilizzo in diversi campi scientifici

Le equazioni differenziali trovano utilizzo in diversi campi scientifici come la fisica, l'ingegneria, la biologia e l'economia. Ciò che è importante per la risoluzione di queste equazioni è possedere tecniche matematiche adeguate che rendano il risultato esatto. Ma non sempre il calcolo del risultato risulta tale: in questo caso è necessario approssimare la soluzione manualmente o tramite l'utilizzo di strumenti adeguati, come calcolatori, che avvicinino il risultato a quello più esatto possibile. Molto spesso la soluzione non è un singolo risultato bensì un insieme di altre funzioni che dipendono dalle condizioni iniziali e dal contorno: per questo è importante studiare l'andamento qualitativo dell'equazione differenziale iniziale al variare dei parametri esterni e delle condizioni iniziali.

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