Appunti di geometria: curva cicloide di Galileo Galilei

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Introduzione

Prendete carta e penna e scrivete questi appunti di geometria, oggi si parlerà di un argomento che pur non essendo difficile da capire, richiede abbastanza tempo per spiegarlo e illustrarlo. L'argomento in questione è la curva cicloide, una curva piana che appartiene alla categoria delle curve polari mobili. Questa curva ha la caratteristica di essere segnata da un punto fisso su una circonferenza che rotola su una linea retta. Il primo a studiare questa cicloide fu Nicola Cusano, ma poi venne approfondita e definita da Galileo Galilei e da lui ricevette questo nome.

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Le curve cicloide sono principalmente tre. La prima, ovvero la curva cicloide ordinaria, che altro non è che una curva che viene definita come il luogo dei punti P su una determinata circonferenza che gira su una retta. Viene detta curva cicloide accartocciata, invece, quando il punto P non si rivela sulla circonferenza ma su un punto interno. Al contrario, invece, se il punto P si trova all'esterno dalla circonferenza questa è chiamata curva cicloide allungata. Queste tre semplici cicloide hanno delle caratteristiche in comune. Una delle prime peculiarità sono le proprietà metriche, come la loro area, che è ben tre volte superiore all'area del cerchio esercitato per creare le curve cicloide e, per di più, la lunghezza del loro arco è quattro volte il diametro del cerchio.

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Per quanto riguarda le loro proprietà matematiche e fisiche, hanno creato nel corso dei secoli accese discussioni tra gli scienziati, arrivando alle seguenti conclusioni. In primo luogo le curve cicloide sono isocrone, poiché se un qualsiasi pendolo percorresse la curva, il suo tempo di percorrenza rimarrebbe costante indipendentemente dal suo dondolamento e dalla sua estensione. Una curva cicloide è tautocrona dal momento che se due sfere venissero fatte scivolare sulla curva da altezze diverse, queste raggiungerebbero il fondo nello stesso tempo. Ulteriormente la curva cicloide è brachistocrona, giacché un qualsiasi corpo solido che scivola sulla curva impiega meno tempo di tragitto di un percorso da due punti dati.

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Infine si può spiegare che le curve cicloide si possono suddividere per genere, ossia se invece di farla percorrere sulla retta di una circonferenza, la si fa viaggiare su una seconda circonferenza più grande ed esterna questa curva viene chiamata epicicloide. Contrariamente, se si sposta rotolando internamente questa è una curva ipocicloide.

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