Appunti di geometria analitica

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tramite: O2O
Difficoltà: media
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Introduzione

Questa guida fornisce le conoscenze base per affrontare i problemi di geometria analitica con un grado di approfondimento per le scuole superiori. Gli appunti descrivono per ognuno dei luoghi geometrici, caratteristiche e definizioni nonché alcune problematiche principali a essi collegati. Nella seguente guida, passo dopo passo, approfondiremo l'argomento fornendovi maggiori informazioni in merito ai concetti base della geometria analitica.

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Il piano cartesiano

La geometria analitica qui trattata riguarda solo il piano cartesiano, quindi si ferma alle due dimensioni. Il piano cartesiano si definisce come la porzione di piano individuata unicamente a partire da due rette perpendicolari tra loro, orientate che si incontrano in un punto denominato "Origine". Queste vengono chiamate asse delle ascisse e asse delle ordinate. Ricordiamo che l'elemento più semplice della geometria analitica è il "punto".

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La retta

Passando a elementi più complessi, troviamo la retta, che in geometria classica si definisce come l'insieme dei punti allineati su una stessa direzione. In analisi invece essa viene caratterizzata da un coefficiente angolare, che indica la pendenza della retta rispetto all'asse delle ascisse e da un termine noto, che rappresenta l'ordinata di intersezione della retta stessa con l'asse delle y. Nella geometria analitica è importante ricordare che a una rappresentazione grafica si associa una equazione. La retta presenta una equazione lineare del tipo: ax+by+c=0. A questa forma "implicita" si affianca la forma "esplicita" y=mx+q, dove i termini m e q sono numeri reali e rappresentano le caratteristiche descritte in precedenza. I problemi sulla retta in genere riguardano la definizione dell'equazione a partire da alcuni dati.

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La parabola

Dopo aver visto un elemento lineare, passiamo a descrive un luogo geometrico rappresentato da una equazione di secondo grado: la parabola. L'equazione in forma esplicita della parabola è y=ax^2+bx+c, dove a, b e c sono numeri reali. L'ascissa del vertice della parabola si ricava dalla semplice formula -b/2a, mentre l'ordinata si calcola sostituendo l'ascissa appena ottenuta all'equazione. Le equazioni analitiche non hanno la caratteristica della funzione biunivoca. Analiticamente invece l'equazione cartesiana dell'ellisse è x^2/a^2 +y^2/b^2 = 1, dove a e b sono numeri reali. Mentre per quanto riguarda la circonferenza, l'equazione cartesiana è x^2+y^2+ax+by+c=0, sempre con a, b e c numeri reali.

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